Bharati Bhawan Class 10th Math Theory of Real Numbers | कक्षा 10 भारती भवन गणित वास्तविक संख्याएँ | BharatiBhawan.org

 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

* प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers) :- गिनती वाली संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती है | जैसे - 1, 2, 3, 4, .......इत्यादि | प्राकृत संख्याओं को N से दिखाते है  |

* पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers) :- प्राकृत संख्याओं के समूह में यदि शून्य (0) और मिला दिया जाए तो हमें संख्याओं का समूह होता है | पूर्ण संख्याओं को W से दिखाते है | जैसे - 0, 1, 2, 3, 4, ........इत्यादि | 

* पूर्णांक संख्याएँ (Integers Numbers) :- पूर्ण संख्याओं के समूह में यदि प्राकृत संख्याओं के ऋनात्मक अंक और मिला दिया जाए तो हमें पुर्नानको का समूह प्राप्त होता है | जैसे :- -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, आदि | इसे Z से दिखाते है |  

* धनात्मक पूर्णांक (Positive Integers) :- शून्य से बड़ा पूर्णांक जैसे- 1, 2, 3,4,..........

*ऋनात्मक पूर्णांक (Negative Integers) :- शून्य (0) से छोटी पूर्णांक जैसे- -1, -2, -3, -4, ......

नोट :~ शून्य (0) न तो धनात्मक पूर्णांक है और न ही ऋनात्मक पूर्णांक है | 

* परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) :- जो संख्या जो p/q के रूप में लिखी जा सके जहाँ p और q पूर्णांक है तथा q शून्य के बराबर नहीं हो, परिमेय संख्या कहलाती है| 

जैसे- 3/4, 8/7, 5, 0 .............

नोट :~ सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ है |  

* अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) :- जो संख्याएँ p/q के रूप में न लिखी जा सके उन्हें अपरिमेय संख्याएँ कहते है  |

जैसे- 

* वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) :- परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं का समूह वास्तविक संखाएँ कहलाती है | 

* युक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Lemma) :- प्रमेयिका एक सिद्ध किया हुआ कथन होता है और इसे एक अन्य कथन को सिद्ध करने में प्रयोग किया जाता है | 

जैसे- 21 > 5 

नोट :~ जीरो शेषफल से छोटी या बराबर रहेगी, शेषफल भाजक से छोटा रहेगा  |

a = bq + r 

21 = 5 * 4 + 1 

दो धनात्मक पूर्णांक a और b दी रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्धमान है की a = bq + r जहाँ शून्य (0) r से छोटी या बराबर है और r, b से छोटा है | 

* युक्लिड विभाजन एल्गोरिदम (Algorithm) :- एल्गोरिदम सुपरिभाषित चरणों की एक श्रृंखला होती है जो एक विशेष प्रकार की समस्या को हल करने की एक प्रक्रिया या विधि प्रदान करती है |  

=> युक्लिड विभाजन एल्गोरिदम में तीन चरण होते है :- 

दो धनात्मक पुर्नानको, मान लीजिये c और d (c > d) का HCF ज्ञात करने के लिए 

चरण -I :- c और d के लिए युक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके q और r ज्ञात करते है की c = bq + r, 

चरण -II :- यदि r = 0 है, तो d पुर्नानको c और d का HCF है | यदि r शून्य के बराबर नहीं है, तो d और r के लिए, युक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करें | 

चरण - III :- इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखना है, जब तक शेषफल 0 न प्राप्त हो जाए | इसी स्थिति में, प्राप्त भाजक ही बांछित HCF है | 

नोट :~ यहाँ युक्लिड विभाजन प्रमेयिका / एल्गोरिदम को केवल धनात्मक पुर्नानको के लिए ही लिखा गया है, परन्तु इसे सभी पूर्णांको (b = 0 को छोड़कर ) लेकिन हम इस तथ्य पर यहाँ विचार नहीं करेंगे |